Question

4．△ABC中，若對任意t∈R均有|$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{AC}$|≥$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|成立，則（　　）

• A． $\frac{π}{6}$≤A≤$\frac{5π}{6}$
• B． $\frac{π}{6}$≤A$≤\frac{π}{2}$
• C． $\frac{π}{6}$≤B$≤\frac{5π}{6}$
• D． $\frac{π}{6}$≤B$＜\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 則根據(jù)平面向量減法的幾何意義，由|$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{AC}$|≥$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|對任意t都成立|，從而得出角A的大�。�

解答 解：△ABC中，對任意的t，滿足|$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{AC}$|≥$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|成立，
不妨取t=1，則|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|≥$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|成立，
即|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{CB}$|＞$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|，
∴cosA=$\frac{{AB}^{2}{+AC}^{2}{-BC}^{2}}{2AB•AC}$≤$\frac{{\frac{3}{4}AB}^{2}{+AC}^{2}}{2AB•AC}$
又$\frac{3}{4}$AB²+AC²≥2•$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB•AC
∴cosA≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
又cosA≥-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$≤A≤$\frac{5π}{6}$．
故選：A．

點評 本題考查了平面向量的線性運算問題，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化條件|$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{AC}$|≥$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|，是難題．