Question

7．已知tanα=$\frac{1}{3}$，cosβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，α、β∈（0，π），求：
（1）cos2α；
（2）α+β．

Answer 1

分析 （1）由已知結(jié)合萬能公式即可求cos2α的值．
（2）由sin2α=$\frac{3}{5}$，cos2α=$\frac{4}{5}$，可得0$＜α＜\frac{π}{4}$，從而可求cosα，sinα，sinβ，可求sin（α+β）的值，即可求得α+β．

解答 解：（1）∵tanα=$\frac{1}{3}$，
∴cos2α=$\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}$=$\frac{1-\frac{1}{9}}{1+\frac{1}{9}}$=$\frac{4}{5}$．
（2）∵sin2α=$\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}$=$\frac{3}{5}$，
∴0＜2$α＜\frac{π}{2}$，0$＜α＜\frac{π}{4}$
∴cosα=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，sin$α=\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∵cosβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，α、β∈（0，π），sin$β=\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{3\sqrt{10}}{10}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{7\sqrt{50}}{50}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
∴α+β=arcsin$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．

點評 本題主要考查了萬能公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．