Question

13．已知函數(shù)y=f（x）對(duì)于任意x∈R有$f（x+1）=-\frac{1}{f（x）}$，且當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=x²+1，則以下命題正確的是：
①函數(shù)數(shù)y=f（x）是周期為2的偶函數(shù)；
②函數(shù)y=f（x）在[2，3]上單調(diào)遞增；
③函數(shù)$y=f（x）+\frac{4}{f（x）}$的最大值是4；
④若關(guān)于x的方程[f（x）]²-f（x）-m=0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的范圍是[0，2]；
⑤當(dāng)x₁，x₂∈[1，3]時(shí)，$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≥\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$．
其中真命題的序號(hào)是①②④．

Answer 1

分析 利用條件，$f（x+1）=-\frac{1}{f（x）}$，可得函數(shù)的周期性；當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=x²+1，可知f（x）的圖象，可得函數(shù)的單調(diào)性、最值，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵$f（x+1）=-\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x+2）=-$\frac{1}{f（x+1）}$=f（x），
∴f（x）是周期為2的函數(shù)，故①正確；
又因?yàn)楫?dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=x²+1，可知f（x）的圖象，由圖象可知②正確；
由圖象可知f（x）=t∈[1，2]，函數(shù)$y=t+\frac{4}{t}$在[1，2]上單調(diào)遞減，所以最大值為5，最小值為4，故③錯(cuò)誤；
因?yàn)閤的方程[f（x）]²-f（x）-m=0有實(shí)根，所以[f（x）]²-f（x）=m，因?yàn)閒（x）∈[1，2]，所以[f（x）]²-f（x）∈[0，2]，故m的范圍是[0，2]，故④正確；
⑤由圖象可知當(dāng)x₁，x₂∈[1，3]時(shí)，$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＜\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$，故⑤錯(cuò)誤．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性及零點(diǎn)的確定的綜合應(yīng)用，屬于難題．