Question

某小商品2013年的價格為8元/件，年銷量為a件，現(xiàn)經(jīng)銷商計劃在2014年將該商品的價格降至5.5元/件到7.5元/件之間，經(jīng)調(diào)查，顧客的期望價格為4元/件，經(jīng)測算，該商品的價格下降后新增的年銷量與實際價格和顧客期望價格的差成反比，比例系數(shù)為k，該商品的成本價格為3元/件．
（1）寫出該商品價格下降后，經(jīng)銷商的年收益y與實際價格x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)k=2a，當實際價格最低定為多少時，仍然可以保證經(jīng)銷商2014年的收益比2013年至少增長20%？

Answer 1

考點：函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先根據(jù)題意設(shè)商品價格下降后為x元/件，銷量增加到（a+

k

x-4

）件，即可求出經(jīng)銷商的年收益y與實際價格x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）依題意保證經(jīng)銷商2014年的收益比2013年至少增長20%，得到關(guān)于x的不等關(guān)系，解此不等式即得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)該商品價格下降后為x元/件，銷量增加到（a+

k

x-4

）件，
年收益y=（a+

k

x-4

）（x-3）（5.5≤x≤7.5），
（2）當k=2a時，依題意有（a+

2a

x-4

）（x-3）≥（8-3）a×（1+20%），
解之得x≥6或4＜x≤5，
又5.5≤x≤7.5，
所以6≤x≤7.5，
因此當實際價格最低定為6元/件時，仍然可以保證經(jīng)銷商2014年的收益比2013年至少增長20%．

點評：本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、思想和方法解決實際問題的能力．