Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

cosxsinx+2cos²x
（1）求f（

4π

3

）的值；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角函數(shù)的倍角公式及兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，然后把x=

4π

3

帶入函數(shù)解析式求得答案．
（2）根據(jù)已知條件求得2x+

π

6

的范圍，最后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性取得函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）f（x）=2

3

cosxsinx+2cos²x=

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1
∴f（

4π

3

）=2sin（

8π

3

+

π

6

）+1=2sin

17π

6

+1=2sin

π

6

+1=2
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1
∵x∈[0，

π

2

]
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1
∴0≤2sin（2x+

π

6

）+1≤3，
即f（x）的值域是[0，3]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)中恒等變換的運(yùn)用．一般步驟是先化簡(jiǎn)，在根據(jù)三角函數(shù)的基本性質(zhì)求得問題的解決．