Question

19．設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義域?yàn)镽⁺，并且對定義域內(nèi)的任意x，y都滿足f（xy）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞1時(shí)f（x）＜0，f（$\frac{1}{3}$）=1．
（1）求f（1）的值，并判斷y=f（x）的單調(diào)性；
（2）如果f（x）+f（1-x）≤2，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x₁=x₂=1，得到f（1）=0，先任取兩個(gè)變量，界定大小，再作差變形看符號，
（2）令x=y=$\frac{1}{3}$，得f（$\frac{1}{9}$）=2，原不等式化為f（x-x²）≤f（$\frac{1}{9}$），再根據(jù)函數(shù)為減函數(shù)，得到關(guān)于x的不等式組，解的即可．

解答 解：（1）令x₁=x₂=1，得f（1）=2f（1），
∴f（1）=0．
設(shè)x₂＞x₁＞0，則
f（x₂）-f（x₁）=f（x₁•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）-f（x₁）
=f（x₁）+f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）．
∵x₂＞x₁＞0，
∴$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1．
∴f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0．
∴f（x₂）＜f（x₁）．
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
（2）令x=y=$\frac{1}{3}$，得f（$\frac{1}{9}$）=f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{3}$）=2，
∵f（x）+f（1-x）≤2，
∴f（x-x²）≤f（$\frac{1}{9}$），
∵f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{1-x＞0}\\{x-{x}^{2}≥\frac{1}{9}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{3-\sqrt{5}}{6}$≤x≤$\frac{3+\sqrt{5}}{6}$，
∴x的取值范圍為[$\frac{3-\sqrt{5}}{6}$，$\frac{3+\sqrt{5}}{6}$]，

點(diǎn)評 本題考查抽象函數(shù)的概念及其應(yīng)用，抽象函數(shù)單調(diào)性的證明，抽象函數(shù)不等式的解集的求法，考查了構(gòu)造函數(shù)以及函數(shù)值的賦值法即函數(shù)特值的應(yīng)用技巧．