Question

10．設(shè)x≥0，y≥0，且x+2y=$\frac{1}{2}$，求函數(shù)z=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（8xy+4y²+1）的最大值與最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中x≥0，y≥0，且x+2y=$\frac{1}{2}$，利用代入消元法，可將函數(shù)z=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（8xy+4y²+1）的真數(shù)部分化為-12y²+4y+1（0≤y≤$\frac{1}{4}$），結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析真數(shù)部分的最值，進而結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得答案．

解答 解：∵x≥0，y≥0，且x+2y=$\frac{1}{2}$，
∴x=-2y+$\frac{1}{2}$，（0≤y≤$\frac{1}{4}$）
令t=8xy+4y²+1=8（-2y+$\frac{1}{2}$）y+4y²+1=-12y²+4y+1，0≤y≤$\frac{1}{4}$，
則當y=$\frac{1}{6}$時，t取最大值$\frac{4}{3}$，此時函數(shù)z取最小值log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{4}{3}$；
則當y=0時，t取最小值1，此時函數(shù)S取最大值log${\;}_{\frac{1}{2}}$1=0．

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．