Question

7．已知極坐標(biāo)的極點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O處，極軸與x軸的正半軸重合，且長度單位相同．直線l的極坐標(biāo)方程為：$ρ=\frac{6}{{\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）}}$，點(diǎn)P（2cosα，2sinα+2），參數(shù)α∈[0，2π]．
（Ⅰ）求點(diǎn)P軌跡的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求點(diǎn)P到直線l距離的最大值．

Answer 1

分析 （I）利用cos²α+sin²α=1即可得出；
（II）把直線l的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式與三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由點(diǎn)P的坐標(biāo)可得：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2sinα+2.\end{array}\right.$且參數(shù)α∈[0，2π]，
∴點(diǎn)P的軌跡方程為x²+（y-2）²=4．
（Ⅱ）∵$ρ=\frac{6}{{\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）}}$，∴$ρ\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）=6$，
∴ρsinθ-ρcosθ=6，
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y+6=0．
$\begin{array}{l}d=\frac{{|{2cosα-2sinα-2+6}|}}{{\sqrt{{1^2}+{1^2}}}}=\frac{{|{2sinα-2cosα-4}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{2\sqrt{2}sin（α-\frac{π}{4}）-4}|}}{{\sqrt{2}}}\\≤2+2\sqrt{2}\end{array}$
即點(diǎn)P到直線l距離的最大值$2\sqrt{2}+2$．

點(diǎn)評 本題考查了把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．