Question

12．如圖，在海岸線EF一側(cè)有一休閑游樂(lè)場(chǎng)，游樂(lè)場(chǎng)的前一部分邊界為曲線段FGBC，該曲線段是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈（0，π）），x∈[-4，0]的圖象，圖象的最高點(diǎn)為B（-1，2）．邊界的中間部分為長(zhǎng)1千米的直線段CD，且CD∥EF．游樂(lè)場(chǎng)的后一部分邊界是以O(shè)為圓心的一段圓弧$\widehat{DE}$．
（1）求曲線段FGBC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）曲線段FGBC上的入口G距海岸線EF最近距離為1千米，現(xiàn)準(zhǔn)備從入口G修一條筆直的景觀路到O，求景觀路GO長(zhǎng)；
（3）如圖，在扇形ODE區(qū)域內(nèi)建一個(gè)平行四邊形休閑區(qū)OMPQ，平行四邊形的一邊在海岸線EF上，一邊在半徑OD上，另外一個(gè)頂點(diǎn)P在圓弧$\widehat{DE}$上，且∠POE=θ，求平行四邊形休閑區(qū)OMPQ面積的最大值及此時(shí)θ的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得A=2，T=12，代入點(diǎn)求ϕ，從而求解析式；
（2）令由$y=2sin（\frac{π}{6}x+\frac{2π}{3}）$=1求解x，從而求景觀路GO的長(zhǎng)；
（3）作圖求S_{平行四邊形OMPQ}=OM•PP₁=$（2cosθ-\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ）•2sinθ$=$4sinθcosθ-\frac{4\sqrt{3}}{3}si{n}^{2}θ$=$2sin2θ+\frac{2\sqrt{3}}{3}cos2θ-\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}sin（2θ+\frac{π}{6}）-\frac{2\sqrt{3}}{3}$，從而求最值．

解答 解：（1）由已知條件，得A=2，
又∵$\frac{T}{4}=3$，$T=\frac{2π}{ω}=12$，∴$ω=\frac{π}{6}$．           
又∵當(dāng)x=-1時(shí)，有y=2sin（-$\frac{π}{6}$+φ）=2，∴φ=$\frac{2π}{3}$．
∴曲線段FGBC的解析式為$y=2sin（\frac{π}{6}x+\frac{2π}{3}）$，x∈[-4，0]．   
（2）由$y=2sin（\frac{π}{6}x+\frac{2π}{3}）$=1
得x=6k+（-1）^k-4  （k∈Z），
又x∈[-4，0]，∴k=0，x=-3．∴G（-3，1）．
∴OG=$\sqrt{10}$．
∴景觀路GO長(zhǎng)為$\sqrt{10}$千米．
（3）如圖，OC=$\sqrt{3}$，CD=1，∴OD=2，$∠COD=\frac{π}{6}$，

作PP₁⊥x軸于P₁點(diǎn)，在Rt△OPP₁中，PP₁=OPsinθ=2sinθ，
在△OMP中，$\frac{OP}{sin120°}=\frac{OM}{sin（60°-θ）}$，
∴$OM=\frac{OP•sin（60°-θ）}{sin120°}=\frac{4}{\sqrt{3}}•sin（60°-θ）$=$2cosθ-\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ$．
S_{平行四邊形OMPQ}=OM•PP₁=$（2cosθ-\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ）•2sinθ$   
=$4sinθcosθ-\frac{4\sqrt{3}}{3}si{n}^{2}θ$=$2sin2θ+\frac{2\sqrt{3}}{3}cos2θ-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}sin（2θ+\frac{π}{6}）-\frac{2\sqrt{3}}{3}$  θ∈（0，$\frac{π}{3}$）．
當(dāng)$2θ+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$時(shí)，即$θ=\frac{π}{6}$時(shí)，平行四邊形面積最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生的作圖能力，屬于中檔題．