Question

19．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，且a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2且n∈N^*）
（Ⅰ）證明：數(shù)列{$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）整理變形a_n-1=2（a_n-1-1）+2ⁿ，（n≥2且n∈N^*）式兩端同除以2ⁿ得出：$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$$-\frac{{a}_{n-1}-1}{{2}^{n-1}}$=1=常數(shù)，運(yùn)用等差數(shù)列的和求解即可．
（2）根據(jù)數(shù)列的和得出S_n=（1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）+n，設(shè)T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，運(yùn)用錯(cuò)位相減法求解即可．得出T_n，代入即可．

解答 解：（1）∵a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2且n∈N^*）
∴a_n-1=2（a_n-1-1）+2ⁿ，（n≥2且n∈N^*）
∴等式兩端同除以2ⁿ得出：$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$$-\frac{{a}_{n-1}-1}{{2}^{n-1}}$=1=常數(shù)，
∵a₁=3，
∴$\frac{{a}_{1}-1}{{2}^{1}}$=$\frac{3-1}{2}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$}為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為1，公差為1，
（2）∵根據(jù)（1）得出$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=1+（n-1）×1=n，a_n=n×2ⁿ+1
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=（1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）+n，
令T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，①
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②得出：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹，
∴T_n=n×2ⁿ⁺¹-2×2ⁿ+2，
∴S_n=n×2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2+n

點(diǎn)評(píng) 本題考察了數(shù)列的遞推關(guān)系式的運(yùn)用，錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和，考察了學(xué)生的分析問題，化簡計(jì)算的能力．