Question

4．已知C${\;}_{2}^{2}$+C${\;}_{3}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{2}$=C${\;}_{8}^{3}$（n∈N^*）．
（1）求n的值；
（2）求二項式（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\root{3}{x}}$）ⁿ展開式的一次項．

Answer 1

分析 （1）由條件利用二項式系數(shù)的性質(zhì)，求得 ${C}_{n+1}^{3}$=C${\;}_{8}^{3}$，由此可得n的值．
（2）由條件利用二項展開式的通項公式，求得展開式的一次項．

解答 解：（1）∵C${\;}_{2}^{2}$+C${\;}_{3}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{2}$=C${\;}_{8}^{3}$=${C}_{3}^{3}$+C${\;}_{3}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{2}$=${C}_{n+1}^{3}$=C${\;}_{8}^{3}$，∴n=7．
（2）二項式（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\root{3}{x}}$）ⁿ =（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\root{3}{x}}$）⁷ 的展開式的通項公式為T_r+1=${C}_{7}^{r}$•（-2）^r•${x}^{\frac{7}{2}-\frac{5r}{6}}$，
令$\frac{7}{2}$-$\frac{5r}{6}$=1，求得r=3，可得展開式的一次項為 T₄=${C}_{7}^{3}$•（-2）³•x=-280x．

點(diǎn)評 本題主要考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．