Question

6．已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（1）求函數(shù)f（x）的周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的值域；
（4）求f（x）的對稱軸方程，及對稱中心．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的周期性，求得函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得 f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的值域．
（4）由條件利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得f（x）的對稱軸方程，及對稱中心．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的最小正周期為 $\frac{2π}{2}$=π．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，可得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．
（3）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，則2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的值域為[-$\sqrt{3}$，2]．
（4）對于f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），令2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，可得它的對稱軸方程為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z．
令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，可得它的對稱軸方程為x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，k∈Z，可得它的圖象的對稱中心為（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，0），k∈Z．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性，單調(diào)性，定義域和值域，以及正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．