Question

4．已知定點M（1，0），A、B是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的兩動點，且$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AB}$的最小值是（　　）

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 利用$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，可得$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AB}$=-$\overrightarrow{MA}$•（$\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}$）=${\overrightarrow{MA}}^{2}$，設A（2cosα，sinα），把${\overrightarrow{MA}}^{2}$用含有α的三角函數(shù)表示，配方后可求$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AB}$的最小值．

解答 解：∵$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AB}$=-$\overrightarrow{MA}$•（$\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}$）=${\overrightarrow{MA}}^{2}$，
設A（2cosα，sinα），則
${\overrightarrow{MA}}^{2}=（2cosα-1）^{2}$+sin²α=3cos²α-4cosα+2=3（cosα-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{2}{3}$，
∴當cosα=$\frac{2}{3}$時，${\overrightarrow{MA}}^{2}$的最小值為$\frac{2}{3}$．
即$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AB}$的最小值是$\frac{2}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查橢圓方程，考查向量的數(shù)量積運算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．