【題目】在如圖所示的幾何體中,EA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為等腰梯形,,且,AD=AE=1,∠ABC=60°,EF=AC,且EFAC.

(Ⅰ)證明:AB⊥CF;

(Ⅱ)求二面角B﹣EF﹣D的余弦值.

【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)由EA⊥平面ABCD得BA⊥AE.由四邊形ABCD為等腰梯形,,且,∠ABC=60°,得AB⊥AC,進(jìn)而推出AB⊥平面ACFE.即可得AB⊥CF.

(Ⅱ)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AC,AE分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面BEF的一個(gè)法向量,平面DEF的一個(gè)法向量,通過(guò)向量的數(shù)量積求解二面角的余弦值即可.

(Ⅰ)由題知EA⊥平面ABCD,BA平面ABCD,∴BA⊥AE.

四邊形ABCD為等腰梯形,,且,AD=1,所以BC=2,∠ABC=60°,

過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H,在RT△ABH中,,∴AB=1,

在△ABC中,AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos60°=3,∴AB2+AC2=BC2,∴AB⊥AC,

且AC∩EA=A,∴AB⊥平面ACFE.又∵CF平面ACFE,∴AB⊥CF.

(Ⅱ)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AC,AE分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

EF=AC,且EFAC,AD=AE=1,則,

設(shè)為平面BEF的一個(gè)法向量,則 ,得

設(shè)為平面DEF的一個(gè)法向量,則,得,

,二面角B﹣EF﹣D的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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