Question

20．已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F₁傾斜角為60°的直線交雙曲線于點(diǎn)M，N．求|MN|的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 依題意可求得直線MN的方程，與x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可求得|MN|，

解答 解：∵x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的左焦點(diǎn)為F₁（-$\sqrt{3}$，0），
∴過(guò)F₁且傾斜角為60°的直線l方程為：y=$\sqrt{3}$（x+$\sqrt{3}$），
與雙曲線方程聯(lián)立，消去y得：x²+6$\sqrt{3}$x+11=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁，x₂是方程x²+6$\sqrt{3}$x+11的兩根．
∴x₁+x₂=-6$\sqrt{3}$，x₁x₂=11，
∴|MN|=$\sqrt{1+3}•\sqrt{（6\sqrt{3}）^{2}-44}$=16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的相交，考查點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，考查轉(zhuǎn)化與運(yùn)算的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．