Question

14．已知實數x，y滿足x²+y²≤1，3x+4y≤0，則$\frac{x-3}{x-y-2}$的取值范圍是（　　）

• A． [1，4]
• B． [$\frac{19}{17}$，4]
• C． [1，$\frac{11}{3}$]
• D． [$\frac{19}{17}$，$\frac{11}{3}$]

Answer 1

分析 畫出x²+y²≤1，3x+4y≤0，表示區(qū)域，化簡目標函數，利用目標函數的幾何意義，求解即可．

解答 解：實數x，y滿足x²+y²≤1，3x+4y≤0，表示的區(qū)域如圖：
則$\frac{x-3}{x-y-2}$=$\frac{1}{\frac{x-y-2}{x-3}}$=$\frac{1}{1-\frac{y-1}{x-3}}$，$\frac{y-1}{x-3}$表示陰影區(qū)域與（3，1）連線的斜率，$\left\{\begin{array}{l}{3x+4y=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$解得A（$\frac{4}{5}$，-$\frac{3}{5}$）．B（-$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$），k_PB=$\frac{1-\frac{3}{5}}{3+\frac{4}{5}}$=$\frac{2}{19}$
則$\frac{x-3}{x-y-2}$=$\frac{-\frac{4}{5}-3}{-\frac{4}{5}-\frac{3}{5}-2}$=$\frac{19}{17}$，
令y-1=k（x-3），可得kx-y-3k+1=0，
由題意可得：$\frac{|1-3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，可得k=0或k=$\frac{3}{4}$，
$\frac{y-1}{x-3}$∈[$\frac{2}{19}$，$\frac{3}{4}$]，
1-$\frac{y-1}{x-3}$∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{17}{19}$]．
∴$\frac{x-3}{x-y-2}$∈[$\frac{19}{17}$，4]．
故選：B．

點評 本題考查線性規(guī)劃的應用，目標函數的幾何意義的轉化與求解是解題的關鍵，考查數形結合以及計算能力．