Question

3．若數(shù)列{a_n}滿足：a₁=0，且a_n=a_n-1+2n-1（n∈N^*，n≥2），數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\sqrt{{a}_{n}+1}$•$\sqrt{{a}_{n+1}+1}$•（$\frac{8}{11}$）^n-1，則數(shù)列{b_n}的最大項(xiàng)為第6項(xiàng)．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式利用累加法求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，代入b_n=$\sqrt{{a}_{n}+1}$•$\sqrt{{a}_{n+1}+1}$•（$\frac{8}{11}$）^n-1，整理后利用$\left\{\begin{array}{l}{_{n}≥_{n-1}}\\{_{n}≥_{n+1}}\end{array}\right.$求解關(guān)于n的不等式組得答案．

解答 解：由a₁=0，且a_n=a_n-1+2n-1（n∈N^*，n≥2），
得a_n-a_n-1=2n-1（n≥2），則
a₂-a₁=2×2-1，
a₃-a₂=2×3-1，
a₄-a₃=2×4-1，
…
a_n=a_n-1+2n-1（n≥2），
累加得：a_n=2（2+3+…+n）-（n-1）=$2×\frac{（n+2）（n-1）}{2}-n+1$=n²-1．
∴b_n=$\sqrt{{a}_{n}+1}$•$\sqrt{{a}_{n+1}+1}$•（$\frac{8}{11}$）^n-1 =$\sqrt{{n}^{2}}•\sqrt{（n+1）^{2}}•（\frac{8}{11}）^{n-1}$=$（{n}^{2}+n）•（\frac{8}{11}）^{n-1}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{_{n}≥_{n-1}}\\{_{n}≥_{n+1}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{（{n}^{2}+n）•（\frac{8}{11}）^{n-1}≥（{n}^{2}-n）•（\frac{8}{11}）^{n-2}}\\{（{n}^{2}+n）•（\frac{8}{11}）^{n-1}≥（{n}^{2}+3n+2）•（\frac{8}{11}）^{n}}\end{array}\right.$，
即$\frac{16}{3}≤n≤\frac{19}{3}$，
∵n∈N^*，∴n=6．
∴數(shù)列{b_n}的最大項(xiàng)為第6項(xiàng)．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)條件建立不等式組是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．