Question

5．（1）已知a，b為實(shí)數(shù)，并且e＜a＜b，其中e是自然對(duì)數(shù)的底，證明a^b＞b^a．
（2）如果正實(shí)數(shù)a，b滿足a^b=b^a，且a＜1，證明a=b．

Answer 1

分析 （1）先構(gòu)造函數(shù)y=$\frac{lnx}{x}$，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而證出結(jié)論；
（2）通過討論a，b的大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從而證出結(jié)論．

解答 證明：（1）當(dāng)e＜a＜b時(shí)，要證a^b＞b^a，
只要證blna＞alnb，即只要證$\frac{lna}{a}$＞$\frac{lnb}$，
考慮函數(shù)y=f（x）=$\frac{lnx}{x}$（0＜x＜+∞），
∵x＞e時(shí)，y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$＜0，
∴函數(shù)y=$\frac{lnx}{x}$在（e，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，
∵e＜a＜b，∴$\frac{lna}{a}$＞$\frac{lnb}$，
得：a^b＞b^a．
（2）由（1）因?yàn)樵冢?，1）內(nèi)f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）內(nèi)是增函數(shù)．
（反證法）假設(shè)a≠b，
由0＜a＜1，b＞0，所以a^b＜1，從而b^a=a^b＜1，
由b^a＜1及a＞0，可推出b＜1，所以a，b∈（0，1），
由0＜a＜1，0＜b＜1，假如a≠b，
則根據(jù)f（x）在（0，1）內(nèi)是增函數(shù)，
若a＞b，則$\frac{lna}{a}$＞$\frac{lnb}$，從而a^b＞b^a；
若a＜b，則$\frac{lna}{a}$＜$\frac{lnb}$，從而a^b＜b^a．
即a≠b時(shí)，a^b≠b^a，與已知矛盾．因此a=b．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的證明，是一道中檔題．