Question

8．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象在y軸右側(cè)的第一個最高點(diǎn)為P（$\frac{1}{3}$，2），在y軸右側(cè)與x軸的第一個交點(diǎn)為R（$\frac{5}{6}$，0）．
（1）求函數(shù)y的解析式；
（2）已知方程f（x）-m=0在區(qū)間[-$\frac{1}{2}，\frac{2}{3}}$]上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得A，$\frac{T}{4}=\frac{5}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$，由周期公式可求ω，將點(diǎn)P（$\frac{1}{3}$，2）代入解析式，解得φ，從而可求函數(shù)y的解析式．
（2）由$x∈[{-\frac{1}{2}，\frac{2}{3}}]$，可求得$（{πx+\frac{π}{6}}）∈[{-\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}}]$，從而可求$f（x）∈[{-\sqrt{3}，2}]$，方程f（x）-m=0即m=f（x）在[-$\frac{1}{2}，\frac{2}{3}}$]有解，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 （本題12分）
解：（1）由題意，A=2，$\frac{T}{4}=\frac{5}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$，所以T=2，
故$\frac{2π}{ω}=2$，解得ω=π，所以f（x）=2sin（πx+φ），
將點(diǎn)P（$\frac{1}{3}$，2），代入上式，解得$φ=\frac{π}{6}$，
所以，$f（x）=2sin（{πx+\frac{π}{6}}）$．
（2）因?yàn)?x∈[{-\frac{1}{2}，\frac{2}{3}}]$，所以$（{πx+\frac{π}{6}}）∈[{-\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}}]$，
此時，$sin（{πx+\frac{π}{6}}）∈[{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}]$，故$f（x）∈[{-\sqrt{3}，2}]$，
方程f（x）-m=0即m=f（x）在[-$\frac{1}{2}，\frac{2}{3}}$]有解，所以$m∈[{-\sqrt{3}，2}]$．

點(diǎn)評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．