Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²-2x|x-a|（其中a∈R）．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若y=f（x）在[0，2]上的最小值為-1，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出a=1時，f（x）的解析式，討論x的范圍，求得二次函數(shù)的值域，進而得到所求；
（2）求出f（x）的分段函數(shù)式，討論a的范圍，結合二次函數(shù)的單調(diào)性，可得最小值，進而得到a的值．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=x²-2x|x-1|
=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-2x（x-1）=-{x^2}+2x=-{{（x-1）}^2}+1，x≥1}\\{{x^2}+2x（x-1）=3{x^2}-2x=3{{（x-\frac{1}{3}）}^2}-\frac{1}{3}，x＜1}\end{array}}\right.$，
當x≥1時，f（x）遞減，可得f（x）∈（-∞，1]；
當x＜1時，f（x）∈[-$\frac{1}{3}$，+∞）．
則函數(shù)f（x）的值域（-∞，+∞）；
（2）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}3{（x-\frac{a}{3}）^2}-{\frac{a}{3}^2}，x＜a\\-{（x-a）^2}+{a^2}，x≥a.\end{array}\right.$，
①當a≤0時，f（x）在（0，2）上為減函數(shù)，
故$f{（x）_{min}}=f（2）=-{（2-a）^2}+{a^2}=-1$，
可得$a=\frac{3}{4}$，不符．                          
②當a＞0時，可知f（x）在$（0，\frac{a}{3}），（a，+∞）$上為減函數(shù)，在$（\frac{a}{3}，a）$上為增函數(shù)．
（i）當$2≤\frac{a}{3}，即a≥6$時，$f{（x）_{min}}=f（2）=-{（2-a）^2}+{a^2}=-1$，得$a=\frac{3}{4}$，不符；
（ii）當$\frac{a}{3}＜2＜a，即2＜a＜6$時，$f{（x）_{min}}=f（\frac{a}{3}）=-\frac{a^2}{3}=-1$，得$a=\sqrt{3}$，不符；
（iii）當a≤2時，$f{（x）_{min}}=f（\frac{a}{3}）=-\frac{a^2}{3}=-1$或$f{（x）_{min}}=f（2）=-{（2-a）^2}+{a^2}=-1$
得$a=\frac{3}{4}$或$a=\sqrt{3}$，符合．
綜上所述$a=\frac{3}{4}$或$a=\sqrt{3}$．

點評 本題考查二次函數(shù)的值域的求法，注意運用絕對值的意義，以及對稱軸和區(qū)間的關系，考查函數(shù)的最值的求法，注意運用分類討論的思想方法，屬于中檔題．