Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|-|x+2|．
（1）解不等式：f（x）＞0；
（2）若f（x）+3|x+2|≥|a-1|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）需要去掉絕對(duì)值，得到不等式解得即可，
（2）把含所有絕對(duì)值的函數(shù)，化為分段函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)f（x）有最小值的充要條件，即可求得．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+3，x≤-2}\\{-3x-1，-2＜x＜\frac{1}{2}}\\{x-3，x≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
當(dāng)x≤-2時(shí)，由f（x）＞0得-x+3＞0，解得x≤-2，
當(dāng)-2＜x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，由f（x）＞0得-3x-1＞0，解得-2＜x＜-$\frac{1}{3}$，
當(dāng)x≥$\frac{1}{2}$時(shí)，由f（x）＞0得x-3＞0，解得x＞3，
綜上，得f（x）＞0的解集為{x|x＜-$\frac{1}{3}$或x＞3}；
（2）∵f（x）+3|x+2|=|2x-1|+2|x+2|=|1-2x|+|2x+4|≥|（1-2x）+（2x+4）|=5，
∴由題意可知|a-1|≤5，解得-4≤a≤6，
故所求a的取值范圍是{a|-4≤a≤6}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查含有絕對(duì)值不等式的解法，關(guān)鍵是去絕對(duì)值，需要分類討論，屬于中檔題．