Question

10．已知曲線$y=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{4}{3}$．
（1）求曲線過點(diǎn)P（2，4）的切線方程；
（2）求滿足斜率為1的曲線的切線方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)切點(diǎn)為（m，n），求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，切線的方程，代入點(diǎn)P坐標(biāo)，解方程可得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到切線的方程；
（2）設(shè)出切點(diǎn)，可得切線的斜率，求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式方程即可得到所求切線的方程．

解答 解：（1）設(shè)切點(diǎn)為（m，n），
函數(shù)$y=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{4}{3}$的導(dǎo)數(shù)為y′=x²，
可得切線的斜率為k=m²，
切線的方程為y-n=m²（x-m），
即為y-$\frac{1}{3}$m³-$\frac{4}{3}$=m²（x-m），
代入點(diǎn)P，可得4-$\frac{1}{3}$m³-$\frac{4}{3}$=m²（2-m），
化簡為m³-3m²+4=0，解得m=-1或2，
即有切線的斜率為1或4，
可得切線的方程為y=4x-4或y=x+2：
（2）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），
可得切線的斜率為k=x₀²=1，
解得x₀=±1，切點(diǎn)為（1，$\frac{5}{3}$），（-1，1），
所求切線的方程為y-$\frac{5}{3}$=x-1或y-1=x+1，
即有3x-3y+2=0或x-y+2=0．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．