Question

17．設(shè)z為復(fù)數(shù)，D為滿(mǎn)足條件||z|-1|+|z|-1=0的點(diǎn)Z所構(gòu)成的圖形的邊界．
（1）若復(fù)數(shù)W=$\frac{1}{2}$z+1-2i（其中z∈D），試證明：表示復(fù)數(shù)W的點(diǎn)在某一圓上運(yùn)動(dòng)，并寫(xiě)出此圓的復(fù)數(shù)方程；
（2）若滿(mǎn)足條件|z+$\frac{1}{2}$|=|z-$\frac{3}{2}$i|的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形D′與D有兩個(gè)公共點(diǎn)A，B，且OA，OB的傾斜角分別為α，β（O為原點(diǎn)），求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件求出D的方程，得出W的實(shí)部與虛部的關(guān)系，寫(xiě)出W的復(fù)數(shù)方程；
（2）求出D′的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系解出cosαcosβ，sinαsinβ．

解答 解：（1）∵||z|-1|+|z|-1=0，∴||z|-1|=1-|z|．
∴|z|-1≤0，即|z|≤1．
∴D的方程為|z|=1．
設(shè)z=x+yi，W=a+bi，則W=$（\frac{x}{2}+1）+（\frac{y}{2}-2）i$．且x²+y²=1．
∴a=$\frac{x}{2}+1$，b=$\frac{y}{2}-2$．
∴（a-1）²+（b+2）²=$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{4}$=$\frac{1}{4}$．
∴表示復(fù)數(shù)W的點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，此圓的復(fù)數(shù)方程為|W-1+2i|=$\frac{1}{2}$．
（2）設(shè)z=x+yi，∵|z+$\frac{1}{2}$|=|z-$\frac{3}{2}$i|，
∴（x+$\frac{1}{2}$）²+y²=x²+（y-$\frac{3}{2}$）²．即x+3y-2=0．
即D的方程為x+3y-2=0．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-2=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消元得10y²-12y+3=0，
∴y₁y₂=$\frac{3}{10}$，y₁+y₂=$\frac{6}{5}$，∴x₁x₂=（2-3y₁）（2-3y₂）=9y₁y₂-6（y₁+y₂）+4=-$\frac{1}{2}$．
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=x₁x₂-y₁y₂=-$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{10}$=-$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)方程，屬于中檔題．