Question

4．已知△ABC的三條邊長分別為3、2、4，則△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{15}}{4}$，內(nèi)切圓半徑r=$\frac{\sqrt{15}}{6}$，外接圓半徑為$\frac{8\sqrt{15}}{15}$，三條邊上的中線長為$\frac{\sqrt{31}}{2}$；$\frac{\sqrt{46}}{2}$；$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

Answer 1

分析 直接運(yùn)用正弦定理，余弦定理，面積公式，中線長公式求解．

解答 解：設(shè)三邊為a=3，b=2，c=4，
則由余弦定理得，cosA=$\frac{2^2+4^2-3^2}{2×2×4}$=$\frac{11}{16}$，所以，sinA=$\frac{3\sqrt{15}}{16}$，
再根據(jù)正弦定理，外接圓直徑為2R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{16\sqrt{15}}{15}$，所以R=$\frac{8\sqrt{15}}{15}$，
又有S_△ABC=$\frac{1}{2}$×bcsinA=$\frac{1}{2}$×2×4×$\frac{3\sqrt{15}}{16}$=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$，
且內(nèi)切圓半徑滿足關(guān)系：S=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r，解得r=$\frac{\sqrt{15}}{6}$，
再根據(jù)中線長公式，設(shè)三邊中線長分別為m_a，m_b，m_c，
m_a=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（b^2+c^2）-a^2}$=$\frac{\sqrt{31}}{2}$，同理，m_b=$\frac{\sqrt{46}}{2}$，m_c=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故答案分別為：$\frac{3\sqrt{15}}{4}$；$\frac{\sqrt{15}}{6}$；$\frac{8\sqrt{15}}{15}$；$\frac{\sqrt{31}}{2}$；$\frac{\sqrt{46}}{2}$；$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了運(yùn)用正弦，余弦定理解三角形，涉及三角形的面積，外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑，中線長，屬于中檔題．