Question

10．已知0＜α＜$\frac{π}{2}$，0＜β＜$\frac{π}{2}$，且，$\frac{sinβ}{sinα}$=cos（α+β），α+β≠$\frac{π}{2}$，則tanβ的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 首先對三角函數(shù)關系式進行恒等變換，整理成tanβ=$\frac{1}{2tanα+\frac{1}{tanα}}$，再利用基本不等式求得它的最大值，

解答 解：由$\frac{sinβ}{sinα}$=cos（α+β），可得：sinβ=sinαcos（α+β），即 sinβ=sinα（cosαcosβ-sinαsinβ）=sinαcosαcosβ-sinαsinαsinβ，
等式兩邊都除以cosβ得到：tanβ=sinαcosα-sin²αtanβ，
整理得：tanβ=$\frac{sinαcosα}{1+si{n}^{2}α}$=$\frac{tanα}{2ta{n}^{2}α+1}$，由于α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），α+β≠$\frac{π}{2}$，
所以：tanβ=$\frac{1}{2tanα+\frac{1}{tanα}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，當且僅當 tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，取等號，故tanβ的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，基本不等式的應用，屬于中檔題．