Question

8．已知實數(shù)x，y滿足x²+y²+xy-4=0，則x³-y³的取值范圍為[-16，16]．

Answer 1

分析 利用立方差公式以及已知條件化簡表達(dá)式，通過三角代換，以及兩角和與差的三角函數(shù)，余弦函數(shù)的值域求解函數(shù)的范圍即可．

解答 解：實數(shù)x，y滿足x²+y²+xy-4=0，則x³-y³=（x-y）（x²+y²+xy）=4（x-y），
可得（x+$\frac{y}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}y$）²=4，
令x+$\frac{y}{2}$=2cosα，$\frac{\sqrt{3}}{2}y$=2sinα，
∴y=$\frac{4}{\sqrt{3}}sinα$，x=2cosα-$\frac{2}{\sqrt{3}}sinα$，
∴4（x-y）=4（2cosα-$\frac{6}{\sqrt{3}}sinα$）=16（$\frac{1}{2}$cosα$-\frac{\sqrt{3}}{2}sinα$）=16cos（$α-\frac{π}{3}$）．
當(dāng)cos（$α-\frac{π}{3}$）=1時，函數(shù)取得最大值：16．
當(dāng)cos（$α-\frac{π}{3}$）=-1時，函數(shù)取得最小值：-16．
故答案為：[-16，16]．

點評 本題考查三角函數(shù)化簡求值，三角代換的應(yīng)用，立方差公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．