Question

20．已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₂=2，a₆+a₈=14．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）記b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₂=2，a₆+a₈=14．可得：a₁+d=2，2a₁+12d=14，聯(lián)立解出即可得出．
（II）記b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用錯(cuò)位相減法即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₂=2，a₆+a₈=14．
∴a₁+d=2，2a₁+12d=14，
解得a₁=d=1，
∴a_n=1+（n-1）=n．
（II）記b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
化為：S_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、錯(cuò)位相減法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．