Question

13．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ²-2ρcosθ+4ρsinθ+1=0，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線 l經(jīng)過點P（-1，1）且傾斜角為 $\frac{2}{3}π$
（Ⅰ）寫出直線 l的參數(shù)方程和曲線C的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)直線 l與曲線C相交于A，B兩點，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （I）由直線 l經(jīng)過點P（-1，1）且傾斜角為 $\frac{2}{3}π$，可得直線 l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）；
把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$dr 曲線C的極坐標(biāo)方程即可得到普通方程．
（II）把直線 l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程可得：${t}^{2}+（2+3\sqrt{3}）t+9$=0，利用|PA|•|PB|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（I）∵直線 l經(jīng)過點P（-1，1）且傾斜角為 $\frac{2}{3}π$，
∴直線 l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）；
曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ²-2ρcosθ+4ρsinθ+1=0，化為x²+y²-2x+4y+1=0，即（x-1）²+（y+2）²=4．
（II）把直線 l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程可得：${t}^{2}+（2+3\sqrt{3}）t+9$=0，
∴t₁t₂=9．
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=9．

點評 本題考查了直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．