Question

4．正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足a₃=a₂+2a₁，且a₄=24．
（1）求a_n；
（2）若數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n=3n•2ⁿ⁺¹，求b_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)a₃=a₂+2a₁可知q²-q-2=0，解得q=2，通過(guò)${a}_{1}{q}^{3}$=24可知a₁=3，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過(guò)a_n•b_n=T_n-T_n-1=3（n+1）•2ⁿ可知b_n=2（n+1）（n≥2），進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a₃=a₂+2a₁，
∴a₁q²=a₁q+2a₁，
∴q²-q-2=0，
解得：q=2或q=-1（舍），
又∵a₄=24，即${a}_{1}{q}^{3}$=24，
∴a₁=$\frac{24}{{2}^{3}}$=3，
∴a_n=3•2^n-1；
（2）∵a_n•b_n=T_n-T_n-1
=3n•2ⁿ⁺¹-3（n-1）•2ⁿ
=3（n+1）•2ⁿ（n≥2），
∴b_n=$\frac{3（n+1）•{2}^{n}}{{a}_{n}}$
=$\frac{3（n+1）•{2}^{n}}{3•{2}^{n-1}}$
=2（n+1）（n≥2），
又∵b₁=$\frac{{T}_{1}}{{a}_{1}}$=$\frac{3•{2}^{2}}{3}$=4滿足上式，
∴b_n=2（n+1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．