Question

14．求函數(shù)y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\sqrt{-{x}^{2}-3x+4}}$的定義域和值域．

Answer 1

分析 使原函數(shù)有意義時(shí)，-x²-3x+4≥0，解該不等式即可得出原函數(shù)的值域，配方$-{x}^{2}-3x+4=-（x+\frac{3}{2}）^{2}+\frac{25}{4}≤\frac{25}{4}$，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出原函數(shù)的值域．

解答 解：要使原函數(shù)有意義，則：-x²-3x+4≥0；
解得-4≤x≤1；
∴原函數(shù)的定義域?yàn)閇-4，1]；
$-{x}^{2}-3x+4=-（x+\frac{3}{2}）^{2}+\frac{25}{4}$；
∴$0≤-{x}^{2}-3x+4≤\frac{25}{4}$；
∴$0≤\sqrt{-{x}^{2}-3x+4}≤\frac{5}{2}$；
∴$（\frac{1}{2}）^{\frac{5}{2}}≤y≤1$；
∴原函數(shù)的值域?yàn)?[（\frac{1}{2}）^{\frac{5}{2}}，1]$．

點(diǎn)評 考查函數(shù)定義域及值域的概念，解一元二次不等式，配方求二次式子范圍的方法，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．