Question

19．在區(qū)間[0，1]上隨機(jī)取兩個實(shí)數(shù)a、b，則函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^3}+ax-b$在區(qū)間[0，1]上有且只有一個零點(diǎn)的概率是（　�。�

• A． $\frac{1}{8}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{7}{8}$

Answer 1

分析 由題意知本題是一個幾何概型，根據(jù)所給的條件很容易做出試驗發(fā)生包含的事件對應(yīng)的面積，而滿足條件的事件是函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x³+ax-b在區(qū)間[0，1]上有且僅有一個零點(diǎn)，求出導(dǎo)函數(shù)，看出函數(shù)是一個增函數(shù)，有零點(diǎn)等價于在自變量區(qū)間的兩個端點(diǎn)處函數(shù)值符號相反，得到條件，做出面積，根據(jù)幾何概型概率公式得到結(jié)果．

解答 解：由題意知本題是一個幾何概型，
∵a∈[0，1]，
∴f'（x）=1.5x²+a≥0，
∴f（x）是增函數(shù)，
若在[0，1]有且僅有一個零點(diǎn)，則f（0）•f（1）≤0，
∴-b•（0.5+a-b）≤0，
即b（0.5+a-b）≥0，
∴b≤a+0.5，
由線性規(guī)劃內(nèi)容知全部事件的面積為1×1=1，滿足條件的面積為1-$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{7}{8}$，
∴概率P=$\frac{7}{8}$，
故選：D．

點(diǎn)評 本題是一個幾何概型，對于這樣的問題，一般要通過把試驗發(fā)生包含的事件同集合結(jié)合起來，根據(jù)集合對應(yīng)的圖形做出面積，用面積的比值得到結(jié)果．