Question

9．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，B、D分別是單位圓與x軸正半軸、y正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P為單位圓劣弧$\widehat{BD}$上一點(diǎn)，若$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$=x$\overrightarrow{DB}$+y$\overrightarrow{OP}$，∠BOP=$\frac{π}{3}$，則x+y=（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 4-3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 可畫出圖形，根據(jù)$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=x\overrightarrow{DB}+y\overrightarrow{OP}$便可得到$y\overrightarrow{OP}=（1-x）\overrightarrow{OB}+（1+x）\overrightarrow{OD}$，而由$∠BOP=\frac{π}{3}$及向量加法的平行四邊形法則可以得到$y\overrightarrow{OP}=\frac{y}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{\sqrt{3}}{2}y\overrightarrow{OD}$，這樣根據(jù)平面向量基本定理便可得到$\left\{\begin{array}{l}{1-x=\frac{y}{2}}\\{1+x=\frac{\sqrt{3}}{2}y}\end{array}\right.$，解出x，y，從而得出x+y的值．

解答 解：如圖，$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}$；
∴$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=x（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}）+y\overrightarrow{OP}$；
∴$y\overrightarrow{OP}=（1-x）\overrightarrow{OB}+（1+x）\overrightarrow{OD}$①；
∵$∠BOP=\frac{π}{3}$；
∴$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{OD}$；
∴$y\overrightarrow{OP}=\frac{y}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{\sqrt{3}}{2}y\overrightarrow{OD}$②；
∴由①②得，$\left\{\begin{array}{l}{1-x=\frac{y}{2}}\\{1+x=\frac{\sqrt{3}}{2}y}\end{array}\right.$；
解得$x=2-\sqrt{3}，y=2\sqrt{3}-2$；
∴$x+y=\sqrt{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 考查向量減法的幾何意義，向量的數(shù)乘運(yùn)算，以及向量加法的平行四邊形法則，向量數(shù)乘的幾何意義，平面向量基本定理．