Question

3．已知數(shù)列{a_n}中，a₂=1，前n項和為S_n，且S_n=$\frac{1}{2}{n^2}-\frac{1}{2}$n．
（1）求a₁；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）設(shè)b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{3^n}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）令n=1則a₁=S₁，計算即可得到；
（2）當(dāng)n＞1時，a_n=S_n-S_n-1，化簡計算即可得到所求通項公式；
（3）化簡數(shù)列{b_n}的通項，運用錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到．

解答 解：（1）a₁=S₁=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=0；
（2）當(dāng)n＞1時，S_n=$\frac{1}{2}{n^2}-\frac{1}{2}$n，
S_n-1=$\frac{1}{2}$（n-1）²-$\frac{1}{2}$（n-1），
兩式相減可得，
a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$（2n-1）-$\frac{1}{2}$
=n-1，
對n=1也成立，
則數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=n-1；
（3）b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{3^n}$=n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
前n項和T_n=1•$\frac{1}{3}$+2•$\frac{1}{9}$+…+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
$\frac{1}{3}$T_n=1•$\frac{1}{9}$+2•$\frac{1}{27}$+…+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
化簡可得T_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{4•{3}^{n}}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項和求和的關(guān)系，主要考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，等比數(shù)列的求和公式的運用，屬于中檔題和易錯題．