Question

5．設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知S_n=n²+n，
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式
（Ⅱ）已知b_n=$\frac{1}{{{a_n}^2-1}}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，證明：$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關系a₁=S₁；n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（II）利用“裂項求和”方法與數(shù)列的單調性即可得出．

解答 （I）解：∵S_n=n²+n，∴a₁=S₁=2；
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n．n=1時也成立，
∴a_n=2n．
（II）證明：b_n=$\frac{1}{{{a_n}^2-1}}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$，
∵數(shù)列$\{-\frac{1}{2n+1}\}$單調遞增，∴$-\frac{1}{3}≤-\frac{1}{2n+1}＜0$，
∴$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了遞推關系、“裂項求和”方法與數(shù)列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．