已知O為坐標原點，點A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且0＜α＜π．
（Ⅰ）若
AC
•
BC
=
7
5
，求tanα的值；
（Ⅱ）若|
OA
+
OC
|=
7
，求
OB
與
OC
的夾角．
考點：平面向量數(shù)量積的運算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件求出
AC
，
BC
，再由
AC
•
BC
=
7
5
，利用已知條件得到三角函數(shù)的表達式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)能求出tanα．
（Ⅱ）由已知條件，先求出
OA
，
OB
，
OC
，由|
OA
+
OC
|=
7
，兩邊平方結(jié)合題設(shè)條件能求出α=
π
3
，由此能求出
OB
與
OC
的夾角．
解答： 解：（Ⅰ）∵O為坐標原點，點A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），
∴
AC
=(cosα-2，sinα)，
BC
=(cosα，sinα-2)，
∵
AC
•
BC
=
7
5
，
∴cosα（cosα-2）+sinα（sinα-2）=
7
5
，
∴sinα+cosα=-
1
5
，①
兩邊同時平方，得1+2sinαcosα=
1
25
，
∴sinαcosα=-
12
25
，
∵0＜α＜π，∴cosα＜0，∴α∈(
π
2
，π)，
∴sinα-cosα=
(sinα-cosα)2
=
1+
24
25
=
7
5
，②
由①②，得sinα=
3
5
，cosα=-
4
5
，
∴tanα=-
3
4
．
（Ⅱ）∵|
OA
+
OC
|=
7
，
兩邊平方得到|
OA
|2+|
OC
|2+2
OA
•
OC
=7，
∵O為坐標原點，點A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），
∴|
OA
|2=4，|
OC
|2=1，
∴
OA
•
OC
=1=2cosα，
∵0＜α＜π，α=
π
3
，
設(shè)求
OB
與
OC
的夾角為θ，
則cosθ=
OB
•
OC
|
OB
|•|
OC
|
=
2sinα
2
=sin
π
3
=
3
2
，
∴θ=
π
6
．
點評：本題考查平面向量的坐標運算，考查三角函數(shù)的知識，是中檔題，解題時要注意三角函數(shù)恒等式的合理運用．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

大西洋鮭魚每年都要逆流而上2000m，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究鮭魚的科學家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速可以表示為函數(shù)y=
1
2
log3（
x
100
），單位是m/s，其中x表示鮭魚的耗氧量的單位數(shù)．
（1）當一條鮭魚的耗氧量是8100個單位時，它的游速是多少？
（2）計算一條鮭魚靜止時耗氧量的單位數(shù)；
（3）若鮭魚A的游速大于鮭魚B的游速，問：這兩條鮭魚誰的耗氧量較大？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知{an}為公差不為零的等差數(shù)列，首項a1=a，{an}的部分項ak1、ak2、…、akn恰為等比數(shù)列，且k1=1，k2=2，k3=5．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式an（用a表示）；
（2）若數(shù)列{kn}的前n項和為Sn，求Sn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=2sinx•cosx-2
3
cos2x+
3
．
（1）求f（
π
4
）的值；
（2）若f（α）=
10
13
，且α[
π
2
，π]，求sin2α的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求下列各函數(shù)的導數(shù)：
（1）y=3x2+xsinx；
（2）y=
x2
x+3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-x2+2|x-a|．
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，求a的值；
（Ⅱ）若a=
1
2
，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）當a＞0時，若對任意的x∈[0，+∞），不等式f（x-1）≥2f（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設(shè)圓T與橢圓C交于點M與點N．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）求
TM
•
TN
的最小值，并求此時圓T的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

直角坐標平面上4個點A（1，2），B（3，1），C（2，3），D（4，0）到直線y=kx的距離的平方和為S，當k變化，S的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在復平面上把方程x10=1的根對應(yīng)的點的集合記為M，以M中的點為頂點的三角形中共有
 
個直角三角形．

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