Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，以橢圓C的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求

TM

•

TN

的最小值，并求此時(shí)圓T的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓的離心率為

3

2

，a=2，可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）根據(jù)點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，利用直角坐標(biāo)方程或參數(shù)方程，設(shè)出N的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)M在橢圓C上，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式得出

TM

•

TN

的表達(dá)式，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求其最小值及求此時(shí)圓T的方程．

解答： 解：（1）依題意，得a=2，e=

c

a

=

3

2

，∴c=

3

， b=

a2-c2

=1；
故橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，故設(shè)M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），
不妨設(shè)sinθ＞0，由已知T（-2，0），
則

TM

•

TN

=（2cosθ+2，sinθ）•（2cosθ+2，-sinθ）=（2cosθ+2）²-sin²θ=5cos²θ+8cosθ+3
=5(cosθ+

4

5

)2-

1

5

．
故當(dāng)cosθ=-

4

5

時(shí)，

TM

•

TN

取得最小值為-

1

5

，此時(shí)M（-

8

5

，

3

5

），
又點(diǎn)M在圓T上，代入圓的方程得到r²=

13

25

．
故圓：（x+2）²+y²=

13

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和幾何性質(zhì)、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查向量的數(shù)量積公式，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，屬于中檔題．