Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x+1，g（x）=ax²-2x+1，其中實(shí)數(shù)a≠0．若f（x）與g（x）在區(qū)間（a，a+2）內(nèi)均為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（-∞，-3]∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)a分類得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性，由a＞0和a＜0可得函數(shù)g（x）的單調(diào)性，然后根據(jù)f（x）與g（x）在區(qū)間（a，a+2）內(nèi)均為增函數(shù)列關(guān)于a的不等式組，求解不等式組可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵${f}^{′}（x）=3{x}^{2}+2ax-{a}^{2}=3（x-\frac{a}{3}）（x+a）$，
若a＞0，當(dāng)x＜-a或x＞$\frac{a}{3}$時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)$-a＜x＜\frac{a}{3}$時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-a）和（$\frac{a}{3}，+∞$）內(nèi)是增函數(shù)，在（$-a，\frac{a}{3}$）是減函數(shù)．
若a＜0，當(dāng)x＜$\frac{a}{3}$或x＞-a時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)$\frac{a}{3}＜x＜-a$時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，$\frac{a}{3}$）和（-a，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，在（$\frac{a}{3}，-a$）是減函數(shù)．
∵$g（x）=a（x-\frac{1}{a}）^{2}+a-\frac{1}{a}$，
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（-∞，-a）和（$\frac{a}{3}，+∞$）內(nèi)是增函數(shù)，g（x）在$（\frac{1}{a}，+∞）$內(nèi)是增函數(shù)，
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≥\frac{a}{3}}\\{a≥\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，解得a≥1；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（-∞，$\frac{a}{3}$）和（-a，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，g（x）在$（-∞，\frac{1}{a}）$內(nèi)是增函數(shù)，
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a+2≤\frac{a}{3}}\\{a+2≤\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，解得a≤-3．
綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-3]∪[1，+∞）．
故答案為：（-∞，-3]∪[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，正確分類是解決該題的關(guān)鍵，是中檔題．