Question

9．已知，如圖，拋物線C：y²=2px（p＞0）經(jīng)過點P（2，4），直線l：y=$\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$交C于A、B兩點，與x軸相交于點F．
（Ⅰ）求拋物線方程和及其準(zhǔn)線方程．
（Ⅱ）已知點M（-2，5），直線MA、MF、MB的斜率分別為k₁、k₂、k₃，求證：k₁、k₂、k₃成等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）拋物線C：y²=2px（p＞0）經(jīng)過點P（2，4），代入解出p即可得出．進而點到拋物線準(zhǔn)線方程．
（Ⅱ）直線l：y=$\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$與x軸相交于點F，F(xiàn)（2，0）．M（-2，5），利用斜率計算公式可得：k₂．設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），聯(lián)立直線與拋物線方程化為3x²-20x+12=0，再利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式證明．

解答 （Ⅰ）解：∵拋物線C：y²=2px（p＞0）經(jīng)過點P（2，4），
∴4²=2p×2，∴p=4，
∴拋物線的方程是y²=8x．
∴拋物線準(zhǔn)線方程是x=-2．
（Ⅱ）證明：∵直線l：y=$\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$與x軸相交于點F，
∴F（2，0）．
∵M（-2，5），
∴${k_2}=\frac{5-0}{-2-2}=-\frac{5}{4}$．
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由方程組$\left\{{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$，得
3x²-20x+12=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{20}{3}$，x₁x₂=4．
∴${k_1}=\frac{{{y_1}-5}}{{{x_1}+2}}=\frac{{\sqrt{3}{x_1}-2\sqrt{3}-5}}{{{x_1}+2}}$，
k₃=$\frac{{y}_{2}-5}{{x}_{2}+2}$=$\frac{\sqrt{3}{x}_{2}-2\sqrt{3}-5}{{x}_{2}+2}$，
∴k₁+k₃=$\frac{（\sqrt{3}{x}_{1}-2\sqrt{3}-5）（{x}_{2}+2）+（{x}_{1}+2）（\sqrt{3}{x}_{2}-2\sqrt{3}-5）}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$
=$\frac{{2\sqrt{3}{x_1}{x_2}-5（{x_1}+{x_2}）-8\sqrt{3}-20}}{{{x_1}{x_2}+2（{x_1}+{x_2}）+4}}$=$\frac{{2\sqrt{3}×4-\frac{20}{3}×5-8\sqrt{3}-20}}{{4+2×\frac{20}{3}+4}}$=$-\frac{5}{2}$，
∴k₁+k₃=2k₂．
∴k₁、k₂、k₃成等差數(shù)列．

點評 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式、等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．