Question

16．等比數(shù)列{a_n}的前n 項和為S_n，已知S₁，S₃，S₂成等差數(shù)列
（1）求{a_n}的公比q；
（2）若a₁-a₃=3，b_n=na_n．求數(shù)列{b_n}的前n 項和T_n．

Answer 1

分析 （I）分類討論利用等差等比是列的定義公式得出當(dāng)q=1時，S₁=a₁，S₃=3a₁，S₂=2a₁，不是等差數(shù)列，當(dāng)q≠1時，化簡得出：2q²-q-1=0，求解即可．
（II）運用得出數(shù)列，等比數(shù)列的性質(zhì)得出b_n=na_n．a(chǎn)_n=$4×（-\frac{1}{2}）$^n-1，再利用錯位相減求和即可．

解答 解：（Ⅰ）∵等比數(shù)列{a_n}的前n 項和為S_n，
∴當(dāng)q=1時，S₁=a₁，S₃=3a₁，S₂=2a₁，不是等差數(shù)列，
當(dāng)q≠1時，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
∵S₁，S₃，S₂成等差數(shù)列
∴2S₃=S₁+S₂，
化簡得出：2q²-q-1=0，
解得：$q=-\frac{1}{2}$，q=1（舍去）
（Ⅱ）∵a₁-a₃=3，
∴a₁-$\frac{1}{4}$a₁=3，a₁=4
∵b_n=na_n．a(chǎn)_n=$4×（-\frac{1}{2}）$^n-1
∴b_n=na_n=4n×（$-\frac{1}{2}$）^n-1
∴T_n=4[1+2×（-$\frac{1}{2}$）+3×（-$\frac{1}{2}$）²+…+（n-1）（-$\frac{1}{2}$）^n-2+n（-$\frac{1}{2}$）^n-1]
-$\frac{1}{2}$T_n=4[1×（-$\frac{1}{2}$）+2×（-$\frac{1}{2}$）²+3×（-$\frac{1}{2}$）³+…+（n-1）（-$\frac{1}{2}$）^n-1+n（-$\frac{1}{2}$）ⁿ]
錯位相減得出$\frac{3}{2}$T_n=4[1+（-$\frac{1}{2}$）+（-$\frac{1}{2}$）²+（-$\frac{1}{2}$）³+$…+（-\frac{1}{2}）$^n-1$-n（-\frac{1}{2}）$]ⁿ
$\frac{3}{2}$T_n=4[$\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}{\frac{3}{2}}$-n×（$-\frac{1}{2}$）ⁿ]，
T_n=$\frac{2}{3}$×$4×\frac{2}{3}$（1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ）$-\frac{8}{3}$n（-$\frac{1}{2}$）ⁿ
T_n=$\frac{16}{9}$$-\frac{16}{9}$（-$\frac{1}{2}$）ⁿ$-\frac{8}{3}$n（-$\frac{1}{2}$）ⁿ

點評 本題考查了等比等差數(shù)列的性質(zhì)，錯位相減法求解數(shù)列的和，考查了學(xué)生的計算化簡能力，屬于中檔題．