Question

5．如果對定義在R上的函數(shù)f（x），對任意兩個不相等的實數(shù)x₁，x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）
+x₂f（x₁），則稱函數(shù)f（x）為“H函數(shù)”，給出下列函數(shù) ①y=x²；②y=e^x+1；③y=2x-sinx；④f（x）=$\left\{\begin{array}{l}ln|x|{\;}_{\;}^{\;}x≠0\\ 0{\;}_{\;}^{\;}{\;}_{\;}^{\;}x=0\end{array}\right.$．以上函數(shù)是“H函數(shù)”的所有序號為（　　）

• A． ①③
• B． ③④
• C． ①④
• D． ②③

Answer 1

分析 不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）等價為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，即滿足條件的函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答 解：∵對于任意給定的不等實數(shù)x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等價為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，
即函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)．
①y=x²，則函數(shù)在定義域上不單調(diào)．不滿足條件．
②y=e^x+1為增函數(shù)，滿足條件．
③y=2x-sinx，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′=2-cosx＞0恒成立，即函數(shù)y=2x-sinx為增函數(shù)，滿足條件．
④f（x）=$\left\{\begin{array}{l}ln|x|{\;}_{\;}^{\;}，x≠0\\ 0{\;}_{\;}^{\;}{\;}_{\;}^{\;}，x=0\end{array}$．當(dāng)x＞0時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x＜0時，函數(shù)單調(diào)遞減，不滿足條件．
綜上滿足“H函數(shù)”的函數(shù)為②③，
故選：D

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，將條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性的形式是解決本題的關(guān)鍵．