Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的所有內(nèi)接菱形構(gòu)成的集合為F．
（1）求F中菱形的最小面積．
（2）是否存在定圓與F中的菱形都相切？若存在，求出定圓的方程；若不存在，說(shuō)明理由．
（3）當(dāng)菱形的一邊經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)，求這條邊所在的直線方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線AC的方程為y=kx，直線BD的方程為y=-$\frac{1}{k}x$，與橢圓聯(lián)立，得到OA²=$\frac{4（{k}^{2}+1）}{4{k}^{2}+1}$，OB²=$\frac{4（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}+4}$，由此能求出菱形ABCD的最小面積．
（2）存在定圓${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{4}{5}$與F中的菱形都相切，設(shè)原點(diǎn)到菱形任一邊的距離為d，由當(dāng)菱形ABCD的對(duì)角線在坐標(biāo)軸上和當(dāng)菱形ABCD的對(duì)角線不在坐標(biāo)軸上，兩種情況證明d=$\frac{2}{\sqrt{5}}$．從而得到存在定圓${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{4}{5}$與F中的菱形都相切．
（3）設(shè)這條邊所在的直線AD的方程為y=t（x-$\sqrt{3}$），由點(diǎn)O（0，0）到直線AD的距離，能求出直線AD的方程．

解答 解：（1）如圖，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
當(dāng)菱形ABCD的對(duì)角線在坐標(biāo)軸上時(shí)，其面積為4×$\frac{1}{2}×2×1$=4，
當(dāng)菱形ABCD的對(duì)角線不在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)直線AC的方程為y=kx，①
則直線BD的方程為y=-$\frac{1}{k}x$，
又橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，②
由①②，得${{x}_{1}}^{2}=\frac{4}{4{k}^{2}+1}$，${{y}_{1}}^{2}=\frac{4{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，
從而$O{A}^{2}={{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}$=$\frac{4（{k}^{2}+1）}{4{k}^{2}+1}$，
同理可得OB²=${{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=$\frac{4[（-\frac{1}{k}）^{2}+1]}{4（-\frac{1}{k}）^{2}+1}$=$\frac{4（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}+4}$，
∴菱形ABCD的面積為：2×OA×OB=8$\sqrt{\frac{{k}^{4}+2{k}^{2}+1}{4{k}^{4}+17{k}^{2}+4}}$=4$\sqrt{\frac{{k}^{4}+2{k}^{2}+1}{{k}^{4}+\frac{17}{4}{k}^{2}+1}}$
=4$\sqrt{1-\frac{\frac{9}{4}{k}^{2}}{{k}^{4}+\frac{17}{4}{k}^{2}+1}}$=4$\sqrt{1-\frac{9}{4（{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}）+17}}$≥$4\sqrt{1-\frac{9}{4×2\sqrt{{k}^{2}×\frac{1}{{k}^{2}}}+17}}$=$\frac{16}{5}$，
當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)，等號(hào)成立，
綜上，得菱形ABCD的最小面積為$\frac{16}{5}$．
（2）存在定圓${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{4}{5}$與F中的菱形都相切，設(shè)原點(diǎn)到菱形任一邊的距離為d，
下證：d=$\frac{2}{\sqrt{5}}$．
證明：由（1）知當(dāng)菱形ABCD的對(duì)角線在坐標(biāo)軸上時(shí)，d=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
當(dāng)菱形ABCD的對(duì)角線不在坐標(biāo)軸上時(shí)，
$q1rbsbr^{2}=\frac{O{A}^{2}×O{B}^{2}}{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\frac{\frac{4（{k}^{2}+1）}{4{k}^{2}+1}×\frac{4（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}+4}}{\frac{4（{k}^{2}+1）}{4{k}^{2}+1}+\frac{4（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}+4}}$
=$\frac{4（{k}^{2}+1）^{2}}{（{k}^{2}+1）（{k}^{2}+4）+（{k}^{2}+1）（4{k}^{2}+1）}$
=$\frac{4（{k}^{2}+1）^{2}}{（{k}^{2}+1）（5{k}^{2}+5）}$=$\frac{4}{5}$，
∴d=$\frac{2}{\sqrt{5}}$．
綜上，存在定圓${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{4}{5}$與F中的菱形都相切．
（3）設(shè)這條邊所在的直線AD的方程為y=t（x-$\sqrt{3}$），即tx-y-$\sqrt{3}t$=0，
則點(diǎn)O（0，0）到直線AD的距離為$\frac{|\sqrt{3}t|}{\sqrt{{t}^{2}+1}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，
解得t=$±\frac{2\sqrt{11}}{11}$．
∴直線AD的方程為y=$±\frac{2\sqrt{11}}{11}$（x-$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查菱形最小面積的求法，考查滿足條件的圓是否存在的判斷與求法，考查直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線距離公式、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．