Question

6．“幸福賬單，為你買單”這是某電視臺(tái)《幸幅賬單》欄目的口號(hào)．每一位參加闖關(guān)的選手如果能成功通過所有關(guān)卡到達(dá)終點(diǎn)，則所報(bào)賬單即確認(rèn)，否則賬單取消．現(xiàn)有3名男生，3名女生分別參加這檔節(jié)目．已知3名男生能使賬單確認(rèn)的概率分別為$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{6}$，3名女生能使賬單確認(rèn)的概率均為$\frac{1}{5}$．
（1）分別求3名男生中有1名，2名，3名能使賬單確認(rèn)的概率；
（2）求3名女生能使賬單確認(rèn)的人數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）利用互斥事件概率加法公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出3名男生能分別求出3名男生中有1名，2名，3名能使賬單確認(rèn)的概率．
（2）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{1}{5}$），由此能求出3名女生能使賬單確認(rèn)的人數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）∵3名男生能使賬單確認(rèn)的概率分別為$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{6}$，
∴3名男生中有1名能使賬單確認(rèn)的概率：
p₁=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{5}）（1-\frac{1}{6}）$+$（1-\frac{1}{4}）•\frac{1}{5}•（1-\frac{1}{6}）$+$（1-\frac{1}{4}）（1-\frac{1}{5}）•\frac{1}{6}$=$\frac{47}{120}$；
3名男生中有2名能使賬單確認(rèn)的概率：
P₂=$\frac{1}{4}×\frac{1}{5}×（1-\frac{1}{6}）$+$\frac{1}{4}×（1-\frac{1}{5}）×\frac{1}{6}$+$（1-\frac{1}{4}）×\frac{1}{5}×\frac{1}{6}$=$\frac{1}{10}$，
3名男生都能使賬單確認(rèn)的概率：
p₃=$\frac{1}{4}×\frac{1}{5}×\frac{1}{6}$=$\frac{1}{120}$．
（2）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{1}{5}$），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{4}{5}）^{3}$=$\frac{64}{125}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}•\frac{1}{5}（\frac{4}{5}）^{2}$=$\frac{48}{125}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{5}）^{2}（\frac{4}{5}）$=$\frac{12}{125}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{5}）^{3}$=$\frac{1}{125}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{64}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{1}{125}$

EX=$0×\frac{64}{125}+1×\frac{48}{125}$+$2×\frac{12}{125}+3×\frac{1}{125}$=$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．