Question

3．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）$為偶函數(shù)，且函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求$f（\frac{π}{8}）$的值；
（2）將函數(shù)$y=f（x+\frac{π}{6}）$的圖象，經(jīng)怎樣的變化得到函數(shù)y=sinx的圖象（寫出兩種方法）．
（3）已知函數(shù)g（x）=Asin（wx+ϕ）+B，A≠0，w≠0
①寫出g（x）的對稱中心的坐標(biāo)及對稱軸方程；
②若g（x）為奇函數(shù)，寫出應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）先用兩角和公式對函數(shù)f（x）的表達(dá)式化簡得f（x）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$），利用偶函數(shù)的性質(zhì)即f（x）=f（-x）求得ω，進(jìn)而求出f（x）的表達(dá)式，把x=$\frac{π}{8}$代入即可．
（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象的變化可得函數(shù)y=f（x）的解析式；
（3）根據(jù)三角函數(shù)的對稱中心和對稱軸方程得到關(guān)于w和∅的方程求出x．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）$=2[$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（ωx+φ）-$\frac{1}{2}$cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$）．
∵f（x）為偶函數(shù)，
∴對x∈R，f（-x）=f（x）恒成立，
∴sin（-ωx+φ-$\frac{π}{6}$）=sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$）．
即-sinωxcos（φ-$\frac{π}{6}$）+cosωxsin（φ-$\frac{π}{6}$）=sinωxcos（φ-$\frac{π}{6}$）+cosωxsin（φ-$\frac{π}{6}$），
整理得sinωxcos（φ-$\frac{π}{6}$）=0．
∵ω＞0，且x∈R，所以cos（φ-$\frac{π}{6}$）=0．
又∵0＜φ＜π，故φ-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$．
∴f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{2}$）=2cosωx．
由題意得$\frac{2π}{ω}$=π，所以ω=2．
故f（x）=2cos2x．
∴f（$\frac{π}{8}$）=2cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$．
（Ⅱ）將函數(shù)$y=f（x+\frac{π}{6}）$=2cos2（x$+\frac{π}{6}$）的圖象，向右平移$\frac{π}{3}$，得到y(tǒng)=2sin2x圖象，
然后將其圖象的所有點橫坐標(biāo)擴(kuò)大原來的2倍，縱坐標(biāo)也縮小原來的$\frac{1}{2}$，得到函數(shù)y=sinx的圖象；
或者將函數(shù)$y=f（x+\frac{π}{6}）$=2cos2（x$+\frac{π}{6}$）的圖象將其圖象的所有點橫坐標(biāo)擴(kuò)大原來的2倍，縱坐標(biāo)也縮小原來的$\frac{1}{2}$，得到函數(shù)y=cos（x+$\frac{π}{6}$）的圖象，
然后向右平移$\frac{2π}{3}$，得到y(tǒng)=cos（x-$\frac{2π}{3}+\frac{π}{6}$）=sinx圖象．；
（3）已知函數(shù)g（x）=Asin（wx+ϕ）+B，A≠0，w≠0
①令由wx+Φ=$\frac{kπ}{2}$，k∈Z
解得：x=$\frac{kπ}{2ω}-\frac{∅}{ω}$，k∈Z
∴對稱軸方程：x=$\frac{kπ}{2ω}-\frac{∅}{ω}$，k∈Z
由wx+∅=kπ，k∈Z，解得x=$\frac{kπ}{w}-\frac{∅}{w}$，k∈Z．
對稱中心坐標(biāo)：（$\frac{kπ}{w}-\frac{∅}{w}$，-B），k∈Z；
②若g（x）為奇函數(shù)，則∅=kπ，且B=0．

點評 本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象和性質(zhì)，及圖象變換，考查函數(shù)的奇偶性與周期性，重點考查三角函數(shù)的平移變換，屬于中檔題．