Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，-1），$\overrightarrow$=（cosx，m），m∈R
（1）若m=tan$\frac{10π}{3}$，且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，求cos²x-sin2x的值；
（2）將函數(shù)f（x）=2（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$-2m²-1的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上有零點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用誘導公式可求m，利用平面向量共線的坐標表示可求tanx，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可化簡求值．
（2）由平面向量數(shù)量積的運算和三角函數(shù)恒等變換的應用可求函數(shù)f（x）的解析式，利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求g（x），根據(jù)x的范圍，可求2sin（2x-$\frac{π}{6}$）的范圍，令g（x）=0即可解得m的取值范圍．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵m=$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，…（1分）
∴3sinx+cosx=0，得tanx=-$\frac{1}{3}$，…（3分）
∴cos²x-sin2x=$\frac{co{s}^{2}x-2sinxcosx}{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$=$\frac{1-2tanx}{1+ta{n}^{2}x}$=$\frac{3}{2}$…（5分）
（2）∵f（x）=2（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$-2m²-1=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-2m-1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x-2m=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-2m，…（7分）
∴g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）-2m=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-2m，…（8分）
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，則2sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，…（10分）
令g（x）=0，可得2m=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴2m∈[-1，2]，…（11分）
∴m的取值范圍是[-$\frac{1}{2}$，1]…（12分）

點評 本題主要考查了誘導公式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，平面向量的應用，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角函數(shù)恒等變換的應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．