Question

8．某售報亭每天以每份0.5元的價格從報社購進某日報，然后以每份1元的價格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩余報紙以每份0.1元的價格退回報社．售報亭記錄近100天的日需求量，繪出頻率分布直方圖如圖所示．若售報亭一天進貨數(shù)為400份，以X（單位：份，150≤X≤550）表示該報紙的日需求量，Y（單位：元）表示該報紙的日利潤．

（Ⅰ）將Y表示為X的函數(shù)；
（Ⅱ）在直方圖的日需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，日需求量落入該區(qū)間的頻率作為日需求量取該區(qū)間中點值的概率，求利潤Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，分別求出當(dāng)150≤X＜400時和400≤X≤550時的函數(shù)解析式，由此能將Y表示為X的函數(shù)．
（Ⅱ）依題意，日需求量X可能取值為200，300，400，500，分別求出對應(yīng)的Y和相應(yīng)的概率P，由此能求出利潤Y的分布列和E（Y）．

解答 解：（Ⅰ）由題意：當(dāng)150≤X＜400時，…（1分）
Y=0.5x-0.4（400-X）=0.9X-160，…（3分）
當(dāng)400≤X≤550時，…（4分）
Y=0.5×400=200，…（5分）
∴Y=$\left\{\begin{array}{l}{0.9X-160，150≤X＜400}\\{200，400≤X≤550}\end{array}\right.$．…（6分）
（Ⅱ）依題意，日需求量X可能取值為200，300，400，500，…（7分）
對應(yīng)的Y分別為：20，110，200，200，…（8分）
對應(yīng)的概率P分別為：0.20，0.35，0.30，0.15．…（9分）
故利潤Y的分布列為：

Y	20	110	200
P	0.20	0.35	0.45

…（10分）
∴E（Y）=20×0.2+110×0.35+200×0.45=132.5（元）．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)解析式、離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查概率的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．