Question

3．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，2${\;}^{{a}_{n+1}}$=3×2${\;}^{{a}_{n}}$+2（n∈N*），若a_n＞4log₂3恒成立，則n的最小值為（　�。�

• A． 8
• B． 7
• C． 6
• D． 5

Answer 1

分析 2${\;}^{{a}_{n+1}}$=3×2${\;}^{{a}_{n}}$+2（n∈N*），2${\;}^{{a}_{n+1}}$+1=3×（2${\;}^{{a}_{n}}$+1），${2}^{{a}_{1}}$+1=2．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得2${\;}^{{a}_{n}}$．根據(jù)a_n＞4log₂3恒成立，可得${2}^{{a}_{n}}$＞3⁴，代入即可得出．

解答 解：∵2${\;}^{{a}_{n+1}}$=3×2${\;}^{{a}_{n}}$+2（n∈N*），
∴2${\;}^{{a}_{n+1}}$+1=3×（2${\;}^{{a}_{n}}$+1），${2}^{{a}_{1}}$+1=2．
∴數(shù)列{2${\;}^{{a}_{n}}$+1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為3．
∴2${\;}^{{a}_{n}}$+1=2×3^n-1，即2${\;}^{{a}_{n}}$=2×3^n-1-1．
∵a_n＞4log₂3恒成立，
∴${2}^{{a}_{n}}$＞3⁴，∴2×3^n-1-1＞3⁴．
經(jīng)過驗(yàn)證：n≥5
∴n的最小值為5．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．