Question

6．給出下列四個(gè)命題：
①命題“對(duì)任意x∈R，有x²≥0”的否定是“存在x₀∈R，有x₀²≥0”；
②“存在x₀∈R，使得x₀²-x₀＞0”的否定是：“任意x∈R，均有x²-x＜0”；
③任意x∈[-1，2]，x²-2x≤3；
④存在x₀∈R，使得x₀²+$\frac{1}{x_{0}^{2}+1}$≤1．
其中真命題的序號(hào)③④（填寫所有真命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析 寫出原命題的否定，可判斷①②；
構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²-2x并求出x∈[-1，2]時(shí)的最大值，可判斷③；
舉出正例x₀=0，可判斷④．

解答 解：①命題“對(duì)任意x∈R，有x²≥0”的否定是“存在x₀∈R，有x₀²＜0”，故錯(cuò)誤；
②“存在x₀∈R，使得x₀²-x₀＞0”的否定是：“任意x∈R，均有x²-x≤0”，故錯(cuò)誤；
③f（x）=x²-2x的圖象開口朝上，且以x=1為對(duì)稱軸，對(duì)任意x∈[-1，2]，x²-2x≤f（-1）=3，故正確；
④當(dāng)x₀=0時(shí)，x₀²+$\frac{1}{x_{0}^{2}+1}$=1，故存在x₀∈R，使得x₀²+$\frac{1}{x_{0}^{2}+1}$≤1，故正確．
故真命題的序號(hào)為：③④，
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了全稱命題，特稱命題，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．