Question

15．當(dāng)m取不同的有理數(shù)時(shí)，討論冪函數(shù)y=x^m的定義域．

Answer 1

分析 m取不同的有理數(shù)時(shí)，冪函數(shù)y=x^m的定義域不一定是R，應(yīng)分情況討論，特別地，m＜0時(shí)，定義域中不存在0．

解答 解：當(dāng)m∈N^*時(shí)，冪函數(shù)y=x^m的定義域是R；
當(dāng)m=0時(shí)，冪函數(shù)y=x^m的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）；
當(dāng)m∈Z^-時(shí)，冪函數(shù)y=x^m的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）；
當(dāng)m=$\frac{p}{q}$（p、q∈N^*，且q＞1，p、q互質(zhì)）時(shí)，若q為偶數(shù)，則冪函數(shù)y=x^m的定義域是[0，+∞），
當(dāng)m=-$\frac{p}{q}$（p、q∈N^*，且q＞1，p、q互質(zhì)）時(shí)，若q為偶數(shù)，則冪函數(shù)y=x^m的定義域是（0，+∞），
若q為奇數(shù)，則冪函數(shù)y=x^m的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求冪函數(shù)的定義域的應(yīng)用問題，也考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．