Question

16．已知拋物線C₁：y²=4x的焦點(diǎn)F也是橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，C₁與C₂的公共弦長(zhǎng)為$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C₂的方程；
（Ⅱ）過橢圓C₂的右焦點(diǎn)F作斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓C₂相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為P，過點(diǎn)P做垂直于AB的直線交x軸于點(diǎn)D，試求$\frac{|DP|}{|AB|}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得拋物線的焦點(diǎn)，由題意可得a²-b²=1，由C₁與C₂關(guān)于x軸對(duì)稱，可得C₁與C₂的公共點(diǎn)為（$\frac{2}{3}$，±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），代入橢圓方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到所求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)l：y=k（x-1），k≠0，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式、以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用不等式性質(zhì)，即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）拋物線C₁：y²=4x的焦點(diǎn)F為（1，0），
由題意可得a²-b²=1①
由C₁與C₂關(guān)于x軸對(duì)稱，可得C₁與C₂的公共點(diǎn)為（$\frac{2}{3}$，±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
可得$\frac{4}{9{a}^{2}}$+$\frac{8}{3^{2}}$=1②
由①②解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
即有橢圓C₂的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）設(shè)l：y=k（x-1），k≠0，代入橢圓方程，可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
即有y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=$\frac{8{k}^{3}}{3+4{k}^{2}}$-2k=$\frac{-6k}{3+4{k}^{2}}$，
由P為中點(diǎn)，可得P（$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{-3k}{3+4{k}^{2}}$），又PD的斜率為-$\frac{1}{k}$，
即有PD：y-$\frac{-3k}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$），令y=0，可得x=$\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
即有D（$\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，0），
可得|PD|=$\sqrt{（\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}-\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}+（\frac{-3k}{3+4{k}^{2}}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{{k}^{4}+{k}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$，
又|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}-\frac{4（4{k}^{2}-12）}{3+4{k}^{2}}}$
=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
即有$\frac{|DP|}{|AB|}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{1-\frac{1}{1+{k}^{2}}}$，
由k²+1＞1，可得0＜$\frac{1}{1+{k}^{2}}$＜1，
即有0＜$\frac{1}{4}$$\sqrt{1-\frac{1}{1+{k}^{2}}}$＜$\frac{1}{4}$，
則有$\frac{|DP|}{|AB|}$的取值范圍為（0，$\frac{1}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線和橢圓的方程和性質(zhì)的運(yùn)用，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．