Question

13．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點D是⊙O上一點，過點D作⊙O的切線，交AB的延長線于點C，過點C作AC的垂線，交AD的延長線于點E．
（Ⅰ）求證：△CDE為等腰三角形；
（Ⅱ）若AD=2，$\frac{BC}{CE}$=$\frac{1}{2}$，求⊙O的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接線段DB，推出∠DAB=∠BDC，說明BD⊥AE，證明∠CDE=∠AEC，即可．
 （Ⅱ）說明CD=CE，通過CD²=CB•CA，得到$\frac{CB}{CE}$=$\frac{CE}{CA}$=$\frac{1}{2}$．利用Rt△ABD∽Rt△AEC，故$\frac{CE}{CA}$=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，然后求解⊙O的面積．

解答 （Ⅰ）證明：連接線段DB，…1分
 因為Dc為⊙O的切線，所以∠DAB=∠BDC，…3分
又因為AB為⊙O的直徑，BD⊥AE，
所以∠CDE+∠CDB=∠DAB+∠AEC=90°，…4分
所以∠CDE=∠AEC，
從而△CDE為等腰三角形．…5分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知CD=CE，
因為DC為⊙O的切線，
所以CD²=CB•CA，…7分
所以CE²=CB•CA，即$\frac{CB}{CE}$=$\frac{CE}{CA}$=$\frac{1}{2}$．…8分
又Rt△ABD∽Rt△AEC，故$\frac{CE}{CA}$=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{2}$．…9分
因為AD=2，所以BD=1，AB=$\sqrt{5}$，S=π（$\frac{\sqrt{5}}{2}$）²=$\frac{5π}{4}$，
所以⊙O的面積為$\frac{5π}{4}$．…10分

點評 本題考查三角形全等，直線與圓的位置關系，切線的應用，考查轉化思想以及計算能力．